Question

如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).

由 是直三棱柱，

得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn).

又為中點(diǎn)，所以為中位線，

所以 ∥，      

因?yàn)?平面，平面，

所以 ∥平面.    ………………4分

（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.

 

 

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.                        

設(shè)，則.

所以 ，              

設(shè)平面的法向量為，則有

所以  取，得.          

易知平面的法向量為.                    

由二面角是銳角，得 .      ………………8分

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415464001564021/SYS201205241548175000500616_DA.files/image033.png">在線段上，，，故可設(shè)，其中.

所以 ，.                

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415464001564021/SYS201205241548175000500616_DA.files/image041.png">與成角，所以.          

即，解得，舍去.         

所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角.         ………………12分

 

【解析】略