已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a}滿足a=2a+aa,且a+a=2a+4,其中n∈N.
(Ⅰ)若b=,求數(shù)列{b}的通項公式;
(Ⅱ)證明:++…+>(n≥2).
(1)b=(n∈N
(2)構(gòu)造函數(shù)借助于函數(shù)的最值來證明不等式。

試題分析:解:(Ⅰ)因為a=2a+aa,即(a+a)(2a-a)=0.            1分
又a>0,所以有2a-a=0,即2a=a
所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,              3分
,解得
從而,數(shù)列{a}的通項公式為a=2(n∈N),即:b=(n∈N). 5分
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b-x)(x>0),
則f′(x)=+=,
當0<x<b時,f′(x)>0,x>b時,f′(x)<0,
所以f(x)的最大值是f(b)=,所以f(x)≤.            7分
(b-x)(x>0,i=1,2,3…n),取“=”的條件是x=b(i=1,2,3…n),
所以++…+>(b+b+…+b-nx), 9分
令x=,則++…+>,
所以++…+>,      11分
++…+>(n≥2).                12分
點評:解決的關(guān)鍵是能利用等比數(shù)列來求解通項公式,同時能結(jié)合導數(shù)來拍腦袋函數(shù)單調(diào)性,以及求解函數(shù)的最值,同時證明不等式,屬于中檔題。
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列的前項和,第項滿足,則k=(   )
A.9B.8C.7D.6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

數(shù)列的通項公式,其前項和為,則等于(  A )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列的各項都是正數(shù),且滿足:
(1)求;
(2)證明:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列中,項和為,且點在一次函數(shù) 的圖象上,則=(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列的前項和為,且 .
(1)求的值;
(2)猜想的通項公式,并用數(shù)學歸納法證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列,首項a 1 =3且2a n+1="S"  n?S n-1 (n≥2).
(1)求證:{}是等差數(shù)列,并求公差;
(2)求{a n }的通項公式;
(3)數(shù)列{an }中是否存在自然數(shù)k0,使得當自然數(shù)k≥k 0時使不等式a k>a k+1對任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小的k值,否則請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)數(shù)列的前項和為,,,若 ,則的值為
A.1007B.1006C.2012D.2013

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

在數(shù)列 , 則         。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案