Question

19．某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒，現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān)．若建造宿舍的所有費(fèi)用p（萬(wàn)元）和宿舍與工廠的距離x（km）的關(guān)系為：p=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤8），若距離為1km時(shí)，宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購(gòu)置修路設(shè)備需5萬(wàn)元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬(wàn)元，設(shè)f（x）為建造宿舍與修路費(fèi)用之和．
（1）求f（x）的表達(dá)式，并寫出其定義域；
（2）宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)距離為1km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元，可求k的值，由此，可得f（x）的表達(dá)式；
（2）f（x）=$\frac{600}{x+5}$+6（x+5）-25，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，距離為1km時(shí)費(fèi)用為100萬(wàn)元，即當(dāng)x=1時(shí)，p=100
∴100=$\frac{k}{1+5}$，∴k=600…（3分）
∴f（x）=$\frac{600}{x+5}$+5+6x，0≤x≤8…（7分）
（2）f（x）=$\frac{600}{x+5}$+6（x+5）-25≥95…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{600}{x+5}$=6（x+5），即x=5時(shí)取“=”…（14分）
答：宿舍距離工廠5km時(shí)，總費(fèi)用最小為95萬(wàn)元…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，注意基本不等式的使用條件．