Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求的極值；

（2）當時，，求整數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當時，無極值；當時，有極小值，無極大值．（2）1

【解析】

（1）對函數求導得，再對分兩種情況討論，即和，即可得答案；

（2）當時，，即， 因為，所以只需，令， 利用導數求出的最小值，可得，再利用導數研究的最小值，即可得答案；

（1）當時，，所以，

①當時，，在為增函數，無極值；

②當時，由得，由得；

所以在為減函數，在為增函數．

當時，取極小值，

綜上，當時，無極值；當時，有極小值，無極大值．

（2）當時，，將函數看成以為主元的一次函數，

則只需證即可，

因為，所以只需，令，

，所以．

，令，

，所以在遞增

，

根據零點存在性定理，，使得，即．

當時，，即，為減函數，

當時，，即，為增函數，

所以，

故；

在遞增，，所以，又

所以整數的最大值是1．