Question

在平面直角坐標系xOy中，動點M到定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和是4，動點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程
（2）設A，B是曲線C上兩個不同的點，且OA⊥OB，證明：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已恬得動點M的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（2）設AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程 3x²+4y²=12，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理、點到直線的距離公式，結合已知條件能證明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

解答： （1）解：∵在平面直角坐標系xOy中，
動點M到定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和是4，
∴動點M的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點的橢圓，
且2a=4，c=1，解得a=2，b=

3

，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）證明：設A點坐標為（x₁，y₁），B坐標為（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
設AB所在的直線方程為：y=kx+m，代入橢圓方程 3x²+4y²=12
整理得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
因為點A、B在橢圓上
由韋達定理可得：
x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
由x₁x₂+y₁y₂=0，得
x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0
即（k²+1）•

4m2-12

4k2+3

-

8k2m2

4k2+3

+m²=0
化簡得：7m²=12（1+k²）

m2

1+k2

=

12

7

，

|m|

1+k2

=

2 3

7

點O到直線AB的距離d=

|m|

1+k2

=

2 3

7

為定值，
直角△AOB中，OA²+OB²=AB²，S_△AOB=

1

2

（OA×OB）=

1

2

（AB×d），
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

|OA|2+|OB|2

|OA|2•|OB|2

=

|AB|2

(|AB|×d)2

=

1

d2

=

7

12

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值．

點評：本題考查曲線方程的求法，考查

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值的證明，解題時要認真審題，注意橢圓定義、韋達定理、點到直線的距離公式的合理運用．