Question

如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解，那么實數(shù)a的取值范圍為______．

Answer 1

將方程ax2+

1

x

=3x改寫為

1

x

=3x-ax2，令y1=

1

x

，y₂=3x-ax²．
“關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+

1

x

=3x的所有解中，僅有一個正數(shù)解”等價于“雙曲線y1=

1

x

與y₂=3x-ax²的圖象在y軸右側(cè)只有一個交點”．
雙曲線y1=

1

x

在第一、三象限內(nèi)．
當(dāng)a＞0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向下且過原點（0，0）及x軸正半軸上的點(

3

a

，0)，研究知，當(dāng)a＜2時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)有兩個交點，當(dāng)a＞2時，兩曲線在第一象限無交點，當(dāng)a=2進，兩曲線僅有一個交點，故a=2符合題意．
當(dāng)a=0時，y₂=3x-ax²=3x為直線，此時，雙曲線y1=

1

x

與直線y₂=3x在第一象限內(nèi)只有一個交點，故a=0符合題意．
當(dāng)a＜0時，拋物線y₂=3x-ax²的開口向上且過原點（0，0）及x軸負半軸上的點(

3

a

，0)，此時，雙曲線y1=

1

x

與拋物線y₂=3x-ax²在第一象限內(nèi)僅有一個交點，故a＜0符合題意．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0]∪{2}．
故答案為：（-∞，0]∪{2}．