如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1
x
=3x
的所有解中,僅有一個正數(shù)解,那么實數(shù)a的取值范圍為( 。
分析:原條件?a=
3
x
-
1
x3
有且僅有一個正實數(shù)解,令
1
x
=t(t≠0)
,t的符號與x的符號一致,則a=-t3+3t有且僅有一個正實數(shù)解,然后通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象可求出a的取值范圍.
解答:解:關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1
x
=3x
的所有解中,僅有一個正數(shù)解?a=
3
x
-
1
x3
有且僅有一個正實數(shù)解.
1
x
=t(t≠0)
,t的符號與x的符號一致,則a=-t3+3t有且僅有一個正實數(shù)解,
令f(t)=-t3+3t(t≠0),
f′(t)=-3t2+3,由f′(t)=0得t=1或t=-1.
又t∈(-1,1)時,f′(t)>0;t∈(-∞,-1),(1,+∞)時,
f′(t)<0.所以[f(t)]極大值=f(1)=2.
又t→-∞,f(t)→+∞;t→+∞,f(t)→-∞.
結(jié)合三次函數(shù)圖象即可.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,0]∪{2}.
故選B.
點(diǎn)評:本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷,以及三次函數(shù)的性質(zhì),同時考查了數(shù)形結(jié)合與函數(shù)方程的思想,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1x
=3x
的所有解中,僅有一個正數(shù)解,那么實數(shù)a的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題:①若區(qū)間D內(nèi)任意實數(shù)x都有f(x+1)>f(x),則y=f(x)在D上是增函數(shù);②y=-
1
x
在定義域內(nèi)是增函數(shù);③函數(shù)f(x)=
1-x2
|x+1|-1
圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;④如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1
x
=3x
的所有解中,正數(shù)解僅有一個,那么實數(shù)a的取值范圍是a≤0;  其中正確的序號是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

下列命題:①若區(qū)間D內(nèi)任意實數(shù)x都有f(x+1)>f(x),則y=f(x)在D上是增函數(shù);②y=-
1
x
在定義域內(nèi)是增函數(shù);③函數(shù)f(x)=
1-x2
|x+1|-1
圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;④如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1
x
=3x
的所有解中,正數(shù)解僅有一個,那么實數(shù)a的取值范圍是a≤0;  其中正確的序號是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如果關(guān)于實數(shù)x的方程ax2+
1
x
=3x
的所有解中,僅有一個正數(shù)解,那么實數(shù)a的取值范圍為______.

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