【題目】已知拋物線C:, 過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線

(1)若拋物線C在點M的法線的斜率為,求點M的坐標;

(2)設P為C對稱軸上的一點,在C上是否存在點,使得C在該點的法線通過點P若有,求出這些點,以及C在這些點的法線方程;若沒有,請說明理由

【答案】(1);(2)時,在上有三點,在該點的法線通過點,法線方程分別為,,當時,在上有一點,在該點的法線通過點,法線方程為

【解析】

試題分析:(1)求導可得點處切線的斜率法線斜率為=的坐標為;2上一點,由上點處的切線斜率,法線方程為法線過點;的法線方程為:再討論,即可求得:當時,有三點和三條法線;時,有一點和一條法線

試題解析:(1)函數(shù)的導數(shù),點處切線的斜率

過點的法線斜率為=,解得,。故點的坐標為。

2上一點,

,則上點處的切線斜率,過點的法線方程為, 法線過點;

,則過點的法線方程為:。

若法線過點,則,即

,則,從而,

代入得,。

,與矛盾,若,則無解。

綜上,當時,在上有三點,在該點的法線通過點,法線方程分別為,,

時,在上有一點,在該點的法線通過點,法線方程為。

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