Question

設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如：[π]=3，[-3.7]=-4．給出以下命題：
①若x₁≤x₂，則[x₁]≤[x₂]；
②[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2015]=4938；
③若x≥0，則可由[2sinx]=[

1

x

]解得x的范圍為[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]；
④函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

，則函數(shù)[f（x）]+[f（-x）]的值域?yàn)閧0，-1}；
你認(rèn)為以上正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，得出x₁≤x₂時(shí)，[x₁]≤[x₂]成立；
②計(jì)算出[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]的值即可；
③舉例說(shuō)明x的取值范圍不是[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]；
④求出函數(shù)f（x）與f（-x）的值域，計(jì)算y=[f（x）]+[f（-x）]的值即可．

解答： 解：對(duì)于①，∵[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁≤x₂，有[x₁]≤[x₂]，∴①正確；
對(duì)于②，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3，∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，
[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，
∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=9×0+90×1+900×2+1016×3=4938，∴②正確；
對(duì)于③，當(dāng)x=

π

6

時(shí)，[2sinx]=1，[

1

x

]=0，∴x的取值范圍不是[

π

6

，1）∪（

5π

6

，π]，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=

2x

1+2x

-

1

2

=

1

1 2x +1

-

1

2

∈（-

1

2

，

1

2

），
同理，f（-x）∈（-

1

2

，

1

2

），
當(dāng)f（x）∈（-

1

2

，0）時(shí)，f（-x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
同理當(dāng)f（-x）∈（-

1

2

，0）時(shí)，f（x）∈（0，

1

2

），∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1，
∴[f（x）]+[f（-x）]=-1，
當(dāng)f（x）=0時(shí)，f（-x）=0，∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0，
∴[f（x）]+[f（-x）]=0，
綜上，y=[f（x）]+[f（-x）]={-1，0}，∴④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了對(duì)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題與三角函數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．