Question

橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁(-1，0)，F(xiàn)₂(1,0)，過F₁作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(I)若ΔABF₂為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當(dāng)直線軸垂直時(shí)；②是當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，都證明，可得結(jié)論．
試題解析：（Ⅰ）由橢圓的定義知，又，∴，即為邊上的中線，∴,        2分
在中，則，∴橢圓的離心率．       4分
（注：若學(xué)生只寫橢圓的離心率，沒有過程扣3分）
（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/95/e/1rv3b3.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以    6分
①當(dāng)直線軸垂直時(shí)，，，,
=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c3/6/1lo2f4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，恒為鈍角，
.         8分
②當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入，
整理得：，
，


      10分
令，由①可知，
恒為鈍角.，所以恒有．      12分
考點(diǎn)：1、橢圓的定義及性質(zhì)；2、直線與橢圓相交的綜合應(yīng)用；3、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.