設(shè)函數(shù),其中。
(Ⅰ)若,求a的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性;
(Ⅲ)證明:對任意的正整數(shù),不等式都成立。
(Ⅰ)解: 函數(shù)的定義域是                     1分
求導(dǎo),得                 3分

解得                                                      4分
(Ⅱ)解由(Ⅰ)知
,得,則。
所以當(dāng)時,
方程存在兩根
x變化時,的變化情況如下表:










0



極大值

極小值

 即函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;                  7分
當(dāng)時,因為
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立),
所以函數(shù)上單調(diào)遞增;         8分
當(dāng)時,因為
所以函數(shù)上單調(diào)遞增。
綜上,當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)上單調(diào)遞增。                                        9分
(Ⅲ)證明:當(dāng)時,

上恒成立,
所以上單調(diào)遞增,                                          10分
則當(dāng)時,恒有
即當(dāng)時,有
整理,得                                      11分
對任意正整數(shù)n,取
所以,整理得           12分
則有
……

所以
,
                                           14分
本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。求解函數(shù)的單調(diào)性和極值以及不等式的恒成立問題的綜合運用。
(1)因為先求解導(dǎo)數(shù),然后令x=1得到,求解得到a的值;
(2)當(dāng)a<0時,分類討論函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(3)要證明:對任意的正整數(shù)n,不等式都成立,要用到當(dāng)a=1時函數(shù)的單調(diào)性中的結(jié)論來分析求證。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù);
(1)若上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;
(2)當(dāng)時,求證:當(dāng)時,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)的圖像上點P(1,2)及鄰近點Q(,)則的值為
A.4B.4xC.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

.(本小題滿分12分)
設(shè),其中為正實數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求的極值點;
(Ⅱ)若為R上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列結(jié)論中正確的是(     )
A.導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點.
B.如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值.
C.如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
D.如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)可導(dǎo),則“有實根”是“有極值”的
A.必要不充分條件B.充分不必要條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù),且滿足.則不等式的解集為        

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則的值為 (   )
A.1B. 2C.1或2D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

,則的值為_________       ________;

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