Question

【題目】已知函數(shù)，直線l：．

求的單調(diào)增區(qū)間；

求證：對(duì)于任意，直線l都不是線的切線；

試確定曲線與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；（2）見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)解析

【解析】

求出函數(shù)定義域，求導(dǎo)，令，即可求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

假設(shè)存在某個(gè)，使得直線l與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，求出切線滿(mǎn)足斜率，推出，此方程顯然無(wú)解，假設(shè)不成立推出直線l都不是曲線的切線；

“曲線與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程的根的個(gè)數(shù)”，令，則，其中，且函數(shù)，其中，求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出曲線與直線l交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

，解：函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

，

由，解得或．

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；

證明：假設(shè)存在某個(gè)，使得直線l與曲線相切，

設(shè)切點(diǎn)為，

又，

切線滿(mǎn)足斜率，且過(guò)點(diǎn)A，

，

即，此方程顯然無(wú)解，

假設(shè)不成立．

故對(duì)于任意，直線l都不是曲線的切線；

解：“曲線與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程的根的個(gè)數(shù)”．

由方程，得．

令，則，其中，且．

考察函數(shù)，其中，

，

函數(shù)在R單調(diào)遞增，且．

而方程中，，且．

當(dāng)時(shí)，方程無(wú)根；當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一根，

故當(dāng)時(shí)，曲線與直線l沒(méi)有交點(diǎn)，

而當(dāng)時(shí)，曲線與直線l有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．