Question

【題目】已知函數(shù)， （、為常數(shù)）．　

（Ⅰ）求函數(shù)在點處的切線方程；

（Ⅱ）當函數(shù)在處取得極值，求函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）當時，設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得,再利用點斜式求切線方程，（2）由極值定義得解方程組得， ．最后需驗證極值條件.（3）由題意得存在使，即存在使，利用變量分離得的最小值，即．

試題解析：(Ⅰ)由 ()，可得 ()，

∴在點處的切線方程是，即，所求切線方程為．

(Ⅱ)∵又可得，且在處取得極值．

∴可得解得， ．

所求（）．

(Ⅲ)∵， ()．

依題存在使，∴即存在使，

不等式等價于 (*)

令（），∵．

∴在上遞減，在上遞增，故，

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求．