Question

【題目】已知橢圓離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓交于均在第一象限，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為,直線的斜率分別為，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).證明: 直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.

（Ⅱ）直線的斜率為定值.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是4，列出，結(jié)合，即可求得，的值，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理可得，，從而表示出，再將化簡(jiǎn)，即可求得的值.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，

又，解得.

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由，消去得，

，

則.

∴，

∵

∴，即.

又

∴

又結(jié)合圖象可知，.

∴直線的斜率為定值.