Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）=

3

2

，且g（x）=[f（x）-2m]•2^x在[0，+∞）上的最小值為-5，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系，即可求k的值；
（Ⅱ）利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立方程關(guān)系即可求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，對(duì)任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
即（k-1）（a^x+a^-x）-（a^x+a^-x）=0，（k-2）（a^x+a^-x）=0，
因?yàn)閤為任意實(shí)數(shù)，所以k=2．         
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=a^x-a^-x，因?yàn)?span id="4icg2me" class="MathJye">f(1)=

3

2

，所以a-

1

a

=

3

2

，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=[f（x）-2m]•2^x=（2^x）²-2m•2^x-1，
令t=2^x，由x∈[0，+∞），得t∈[1，+∞），
所以g（x）=h（t）=t²-2mt-1=（t-m）²-m²-1，t∈[1，+∞），
當(dāng)m＜1時(shí)，h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則h（t）_min=h（1）=-2m=-5，
解得m=

5

2

（舍去）．
當(dāng)m≥1時(shí)，則h(t)min=-m2-1=-5，解得m=2，或m=-2（舍去）．
綜上，m的值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．