Question

已知正項數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和為S_n（n∈N^*），當n≥2時，有

Sn

-

Sn-1

=

3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，若

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中項，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

Sn

=

3

n，從而得到Sn=3n2，由此能求出a_n=6n-3，n∈N^*．
（2）由已知條件推導(dǎo)出bn=

1

anan+1

=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)，由此利用裂項求和法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵

Sn

-

Sn-1

=

3

，
∴數(shù)列{

Sn

}是首項為

S1

=

a1

=

3

，公差為

3

的等差數(shù)列，…（1分）
∴

Sn

=

3

+(n-1)•

3

=

3

n，…（2分）
∴Sn=3n2，…（3分）
∴a_n=S_n-S_n-1，n≥2，…（4分）
當n=1時，上式也成立，
∴a_n=6n-3，n∈N^*．…（6分）
（2）∵

bn

是

1

an+1

，

1

an

的等比中項，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(6n-3)(6n+3)

…（7分）
=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)，…（9分）
T_n=

1

6

[(

1

3

-

1

9

)+(

1

9

-

1

15

)+…+(

1

6n-3

-

1

6n+3

)]…（11分）
=

1

6

(

1

3

-

1

6n+3

)…（13分）
=

n

9(2n+1)

．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．