Question

p：實數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，q：實數(shù)x滿足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（1）若a=1，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）?p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，
所以a＜x＜3a．
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1＜x＜3．
由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

得

-2≤x≤3 x＞2或x＜-4

得2＜x≤3，
即q為真時實數(shù)x的取值范圍是2＜x≤3．
若p∧q為真，則p真且q真，
所以實數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．
（2）￢p是￢q的充分不必要條件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．
即q是p的充分不必要條件，
則

3a＞3 a≤2

，解得1＜a≤2，
所以實數(shù)a的取值范圍是1＜a≤2．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關鍵，