【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四邊形ABCD為梯形,AD∥BC,且AD=2BC,過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α,BB1與α的交點(diǎn)為Q.
(1)證明:Q為BB1的中點(diǎn);
(2)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面積為6,∠ADC=60°,求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大。
【答案】
(1)證明:Ⅰ∵BQ∥AA1,BC∥AD,
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
∴平面QBC∥平面A1AD,
∴平面A1CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行,
即QC∥A1D.
∴△QBC與△A1AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行,
∴△QBC∽△A1AD,
∴ ,
∴Q為BB1的中點(diǎn).
(2)解法一:如圖1所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E.
又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面AEA1,所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角.
因?yàn)锽C∥AD,AD=2BC,所以S△ADC=2S△BCA.
又因?yàn)樘菪蜛BCD的面積為6,DC=2,
所以S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1= =1,∠AEA1= .
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 .
解法二:如圖2所示,
以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)∠CDA=θ,BC=a,則AD=2a.
因?yàn)镾四邊形ABCD= 2sin60°=6,
所以a= .
從而可得C(1, ,0),A1( ,0,4),
所以DC=(1, ,0), =( ,0,4).
設(shè)平面A1DC的法向量 =(x,y,1),
由 ,
得 ,
所以 =(﹣ , ,1).
又因?yàn)槠矫鍭BCD的法向量 =(0,0,1),
所以cos< , >= = ,
故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 .
【解析】(1)由已知得平面QBC∥平面A1AD,從而QC∥A1D,由此能證明Q為BB1的中點(diǎn).(2)法一:在△ADC中,作AE⊥DC,垂足為E,連接A1E,∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角,由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大。3)法二:以D為原點(diǎn),DA,DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大小.
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(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若b=﹣1,f(x)>g(x),x∈(0,π),求a取值范圍.
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A. 90 B. 120 C. 180 D. 200
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(2)若α∈[0, ),直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),直線l交圓C于A、B兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍.
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