已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC ="∠BAD" =,AB=BC=2AD=4,
E、F分別是AB、CD上的點,且EF∥BC.設AE =,G是BC的中點.
沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).
(1)當=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為,求的最大值;
(3)當取得最大值時,求二面角D-BF-E的余弦值.
(1)見解析;(2)時有最大值為.(3)cos<>=。
解析試題分析:(1)∵平面平面,
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,
據(jù)此建立建立空間坐標系E-xyz.然后利用,證得.
(2)∵AD∥面BFC,利用 建立關于x的一元二次函數(shù),求出其最大值.
(3)在(2)的條件下,分別求出二面角D-BF-E兩個面的法向量,根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補求解.
(1)方法一:
∵平面平面,
AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz.
,又為BC的中點,BC=4,
.則A(0,0,2),B(2,0,0),
G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),(2,2,0),
(-2,2,2)(2,2,0)=0,
∴.……4分
方法二:
作DH⊥EF于H,連BH,GH, 由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH.
為平行四邊形,且,四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,
故EG⊥平面DBH, 而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分
(或者直接利用三垂線定理得出結果)
(2)∵AD∥面BFC,所以 =VA-BFC=
,即時有最大值為. ………8分
(3)設平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),
D(0,2,2),F(xiàn)(0,3,0),∴………9分
(-2,2,2),
則 ,即,
取,∴
,面BCF一個法向量為,
則cos<>=,………14分.
考點:空間向量法在證明與求角當中的應用.
點評:利用空間向量法關鍵是選擇恰當?shù)淖鴺讼,本小題在證明AE⊥EF,AE⊥BE,
BE⊥EF的基礎上,可如圖建立空間坐標系E-xyz.下面利用兩向量數(shù)量積為零來證明直線垂直,求兩個面的法向量的夾角來求二面角即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長為的正方體中分離出來的:
(1)試判斷是否在平面內(nèi);(回答是與否)
(2)求異面直線與所成的角;
(3)如果用圖示中這樣一個裝置來盛水,那么最多可以盛多少體積
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分15分) 如圖,四邊形中,為正三角形,,,與交于點.將沿邊折起,使點至點,已知與平面所成的角為,且點在平面內(nèi)的射影落在內(nèi).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若已知二面角的余弦值為,求的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在長方體中,,且.
(I)求證:對任意,總有;
(II)若,求二面角的余弦值;
(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分別為MB、PB、PC的中點,且AD=PD=2MA.
(1)求證:平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.
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