Question

設A1、A2與B分別是橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2＋y2＝1相切．

(1)求證：＝1；

(2)P是橢圓E上異于A1、A2的一點，若直線PA1、PA2的斜率之積為－，求橢圓E的方程；

(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點，且·＝0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）＝1.（3）直線l與圓C相切

【解析】(1)證明：已知橢圓E：＝1(a>b>0)，A1、A2與B分別為橢圓E的左、右頂點與上頂點，

所以A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直線A2B的方程是＝1.

因為A2B與圓C：x2＋y2＝1相切，所以＝1，即＝1.

(2)【解析】
設P(x0，y0)，則直線PA1、PA2的斜率之積為kPA1·kPA2＝，＝1，而＝1，所以b2＝a2.結(jié)合＝1，得a2＝4，b2＝.所以橢圓E的方程為＝1.

(3)【解析】
設點M(x1，y1)，N(x2，y2)．

①若直線l的斜率存在，設直線l為y＝kx＋m，由y＝kx＋m代入＝1，得＋＝1.化簡得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0(Δ>0)．∴x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝

.因為·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.代入得(a2＋b2)m2－a2b2(1＋k2)＝0.結(jié)合(1)的＝1，得m2＝1＋k2.圓心到直線l的距離為d＝＝1，所以直線l與圓C相切．

②若直線l的斜率不存在，設直線l為x＝n.代入＝1，得y＝±b.∴|n|＝b·，∴a2n2＝b2(a2－n2)．解得n＝±1，所以直線l與圓C相切．