Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－1，1)，P是動點，且△POA的三邊所在直線的斜率滿足kOP＋kOA＝kPA.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且＝λ，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P，使得△PQA和△PAM的面積滿足S△PQA＝2S△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）y＝x2(x≠0且x≠－1)（2）(1，1)

【解析】(1)設點P(x，y)為所求軌跡上的任意一點，則由kOP＋kOA＝kPA得，

整理得軌跡C的方程為y＝x2(x≠0且x≠－1)．

(2)設P(x1，)，Q(x2，，M(x0，y0)，

由＝λ可知直線PQ∥OA，則kPQ＝kOA，故，即x2＋x1＝－1，

由O、M、P三點共線可知，＝(x0，y0)與＝(x1，)共線，

∴x0－x1y0＝0，由(1)知x1≠0，故y0＝x0x1，

同理，由＝(x0＋1，y0－1)與＝(x2＋1，－1)共線可知(x0＋1)(－1)－(x2＋1)(y0－1)＝0，即(x2＋1)[(x0＋1)·(x2－1)－(y0－1)]＝0，

由(1)知x2≠－1，故(x0＋1)(x2－1)－(y0－1)＝0，

將y0＝x0x1，x2＝－1－x1代入上式得(x0＋1)(－2－x1)－(x0x1－1)＝0，

整理得－2x0(x1＋1)＝x1＋1，由x1≠－1得x0＝－，由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM，

∵PQ∥OA，∴OP＝2OM，∴＝2，∴x1＝1，∴P的坐標為(1，1)