【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)僅在處取得極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn),,,求證:.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】
(1),因?yàn)?/span>僅在處取得極值,則.再對(duì)a 分類討論,利用數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍;(2)由題得,由題意則有三個(gè)根,則有兩個(gè)零點(diǎn),有一個(gè)零點(diǎn),,再利用分析法證明.
解:(1)由,得,
由僅在處取得極值,則,即.
令,則,當(dāng)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,
則,
∴當(dāng)時(shí),,此時(shí)僅一個(gè)零點(diǎn),
則僅一個(gè)為極值點(diǎn),
當(dāng)時(shí),與在同一處取得零點(diǎn),此時(shí),,
,,
∴僅一個(gè)零點(diǎn),則僅一個(gè)為極值點(diǎn),所以a=e.
當(dāng)a>e時(shí),顯然與已知不相符合.
∴.
(2)由,則.
由題意則有三個(gè)根,則有兩個(gè)零點(diǎn),
有一個(gè)零點(diǎn),,
令,則,
∴當(dāng)時(shí)取極值,時(shí)單調(diào)遞增,
∴,則時(shí)有兩零點(diǎn),,且,
若證:,即證:,
由,,則,
即證: ,
由在上單調(diào)遞增,即證:,
又,則證,
令,,
∴ .
∴恒成立,則為增函數(shù),
∴當(dāng)時(shí),,
∴得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:, 過(guò)點(diǎn)的直線:與橢圓交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方),與軸交于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)且時(shí),求點(diǎn)M、N的坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),設(shè),,求證:為定值,并求出該值;
(3)當(dāng)時(shí),點(diǎn)D和點(diǎn)F關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,若△MNF的內(nèi)切圓面積等于,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著智能手機(jī)的普及,使用手機(jī)上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費(fèi)者對(duì)手機(jī)流量的需求越來(lái)越大.長(zhǎng)沙某通信公司為了更好地滿足消費(fèi)者對(duì)流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了5個(gè)城市(總?cè)藬?shù)、經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況、消費(fèi)能力等方面比較接近)采用不同的定價(jià)方案作為試點(diǎn),經(jīng)過(guò)一個(gè)月的統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)該流量包的定價(jià):(單位:元/月)和購(gòu)買人數(shù)(單位:萬(wàn)人)的關(guān)系如表:
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?并指出是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)①求出關(guān)于的回歸方程;
②若該通信公司在一個(gè)類似于試點(diǎn)的城市中將這款流量包的價(jià)格定位25元/ 月,請(qǐng)用所求回歸方程預(yù)測(cè)長(zhǎng)沙市一個(gè)月內(nèi)購(gòu)買該流量包的人數(shù)能否超過(guò)20 萬(wàn)人.
參考數(shù)據(jù):,,.
參考公式:相關(guān)系數(shù),回歸直線方程,
其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿足向量
(1)若A,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)F1,問(wèn)是否存在過(guò)F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】惠州市某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選1人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,抽取了近期兩人5次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲 | 80 | 85 | 71 | 92 | 87 |
乙 | 90 | 76 | 75 | 92 | 82 |
(1)若從甲、乙兩人中選出1人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為選誰(shuí)合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)若數(shù)學(xué)競(jìng)賽分初賽和復(fù)賽,在初賽中答題方案如下:
每人從5道備選題中隨機(jī)抽取3道作答,若至少答對(duì)其中2道,則可參加復(fù)賽,否則被淘汰.假設(shè)被選中參賽的學(xué)生只會(huì)5道備選題中的3道,求該學(xué)生能進(jìn)人復(fù)賽的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.
Ⅰ寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
Ⅱ若與相交于A,B兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中正確的是( )
A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示
B.若為空間向量的一組基底,則構(gòu)成空間向量的另一組基底
C.為直角三角形的充要條件是
D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,,為的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)若是等邊三角形,求二面角的正弦值.
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