如圖所示，點D是AB的中點，點M是△ABC三條中線的交點，O是空間任意一點．求證：
（1）
OD
=
1
2
（
OA
+
OB
）；
（2）
OM
=
1
3
（
OA
+
OB
+
OC
）．
考點：空間向量的加減法
專題：空間向量及應用
分析：（1）點D是AB的中點，利用平行四邊形法則可得
OA
+
OB
=2
OD
，即可證明；
（2）由于點M是△ABC三條中線的交點，可得
CM
=
2
3
CD
，
CD
=
1
2
(
CB
+
CA
)=
1
2
(
OB
-
OC
+
OA
-
OC
)，
因此
OM
=
OC
+
CM
=
OC
+
1
3
(
OA
+
OB
-2
OC
)即可得出．
解答： 證明：（1）∵點D是AB的中點，∴
OA
+
OB
=2
OD
，∴
OD
=
1
2
（
OA
+
OB
）；
（2）∵點M是△ABC三條中線的交點，∴
CM
=
2
3
CD
，
CD
=
1
2
(
CB
+
CA
)=
1
2
(
OB
-
OC
+
OA
-
OC
)=
1
2
(
OB
+
OA
-2
OC
)，
∴
CM
=
1
3
(
OA
+
OB
-2
OC
)．
∴
OM
=
OC
+
CM
=
OC
+
1
3
(
OA
+
OB
-2
OC
)=
1
3
(
OA
+
OB
+
OC
)．
點評：本題考查了向量的平行四邊形法則與三角形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為原點，橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上一點P到左焦點F1的距離為4，M是PF1的中點．則|OM|=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)x、y滿足x2+y2+2x-4y+1=0，求下列各式的最大值和最小值：
（1）
y
x-4
；
（2）3x-4y；
（3）x2+y2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

現(xiàn)有8名運動員參加110米欄決賽，共有1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道，其中甲，乙，丙三名運動員道次各不相鄰，丁不在第一道，則安排這8名運動員比賽的方式共有
 
種．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
4x
4x+a
，且f（x）的圖象過點(0，
1
2
 )，
（1）求f（x）表達式；
（2）計算f（x）+f（-x）；
（3）試求f（-2014）+f（-2013）+f（-2012）+…+f（2013）+f（2014）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線x+y=
3
a與圓x2+y2=a2+（a-1）2相交于A、B兩點，點O是坐標原點，若△AOB是正三角形，則實數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
9
+
y2
4
=1上一點M（0，2）作圓x2+y2=2的兩條切線，點A，B為切點，O為坐標原點，則△AOB的面積為（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、1
D、
4
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設α∈（0，π），且tanα=
5
，則cosα=（　�。�
A、2
B、-
6
C、
3
6
D、
6
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=3，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1=1，公比為q，且b2+S2=12，q=
S2
b2
．
（1）求an與bn；
（2）設數(shù)列{cn}滿足cn=an•bn，求{cn}的前n項和Tn．

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