Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，）.在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸所建立的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）可得，根據(jù)互化公式可得，消去參數(shù)可得；

（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義以及三角函數(shù)的值域可得結(jié)果.

（1）根據(jù)題意得，曲線C的極坐標(biāo)方程為，

，即，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即，

直線l的普通方程為.

（2）聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程，

將，代入，

化簡，得.

設(shè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，

則，，，

由（1）可知，曲線C是圓心，半徑為1的圓，點(diǎn)P在圓外，

由直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義知，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.

即的最大值為.