已知函數(shù)，且在時函數(shù)取得極值.
（1）求的單調增區(qū)間；
（2）若，
（Ⅰ）證明：當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）證明不等式恒成立.

（1）函數(shù)的單調增區(qū)間為和；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先利用函數(shù)在處取得極值，由求出的值，進而求出的解析式，解不等式，從而得出函數(shù)的單調增區(qū)間；（2）（Ⅰ）構造新函數(shù)，利用導數(shù)證明不等式在區(qū)間上成立，從而說明當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結論證明當時，，由此得到，，，，結合累加法得到，再進行放縮得到
，從而證明.
試題解析：（1），，函數(shù)的定義域為，
由于函數(shù)在處取得極值，則，
，
解不等式，得或，
故函數(shù)的單調增區(qū)間為和；
（2）（Ⅰ）構造函數(shù)，其中，
，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，
則對任意，則，即，即，
即當時，的圖象恒在的上方；
（Ⅱ）先證當時，，由（Ⅰ）知，當且時，，
故有，
由于，，，，
上述個不等式相加得，即，
即，由于，
上述不等式兩邊同時乘以得.
考點：1.函數(shù)的極值與單調區(qū)間；2.函數(shù)不等式的證明；3.累加法；4.數(shù)列不等式的證明.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
（1）若，求證：當時，；
（2）若在區(qū)間上單調遞增，試求的取值范圍；
（3）求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點，（）,證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍;
（3）若，的三個頂點在函數(shù)的圖象上，且，、、分別為的內角A、B、C所對的邊。求證：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，且.
（1）判斷的奇偶性并說明理由；
（2）判斷在區(qū)間上的單調性，并證明你的結論；
（3）若在區(qū)間上，不等式恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)：
（1）討論函數(shù)的單調性；
（2）若對于任意的，若函數(shù)在 區(qū)間上有最值，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)(其中).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間；
(Ⅱ)當時,求函數(shù)在上的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線．
(Ⅰ)求,,,的值；
(Ⅱ)若時，≤，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，（且）.
（1）設，令，試判斷函數(shù)在上的單調性并證明你的結論；
（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

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