Question

（A）如圖，△ABC內(nèi)接圓O，AD平分∠BAC交圓于點D，過點B作圓O的切線交直線AD于點E．
（Ⅰ）求證：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求證：AB•BE=AE•DC．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）根據(jù)BE為圓O的切線，證明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，證明∠BAD=∠CAD，即可證明∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）證明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可證明AB•BE=AE•DC．

解答： 證明：（Ⅰ）∵BE為圓O的切線，
∴∠EBD=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴

BE

AE

=

BD

AB

，
∴AB•BE=AE•BD，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．

點評：本題考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題．