△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若B=60°，a=（
3
-1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面積為12+4
3
，求函數(shù)f（x）=cos2x+asinx的最大值．
考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）由B的度數(shù)表示出A+C的度數(shù)，用A表示出C，已知等式利用正弦定理化簡，將表示出的C代入利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后得到tanA=1，即可確定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將表示出的c，sinB以及已知面積代入求出a的值，代入f（x）解析式中化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵B=60°，∴A+C=120°，即C=120°-A，
∵a=（
3
-1）c，由正弦定理可得：sinA=（
3
-1）sinC，
sinA=（
3
-1）sin（120°-A）=（
3
-1）（
3
2
cosA+
1
2
sinA），
整理得：
3
2
cosA+
3
2
sinA-
3
2
cosA-
1
2
sinA=sinA，
即
3-
3
2
cosA=
3-
3
2
sinA，
即sinA=cosA，
∴tanA=1，
則A=45°； 
（Ⅱ）∵S△ABC=
1
2
acsinB=12+4
3
，c=
a
3
-1
，sinB=
3
2
，
∴
1
2
•
a2
3
-1
•
3
2
=12+4
3
，
解得：a=4
2
，
∴f（x）=1-2sin2x+4
2
sinx=-2（sinx-
2
）2+5，
則當(dāng)sinx=1時，函數(shù)f（x）取得最大值4
2
-1．
點評：此題考查正弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（π+α）=
3
sin（
π
2
-α），且α∈（-π，0），則α=（　�。�
A、
π
3
B、-
2π
3
C、
4π
3
D、-
π
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知（1+
2
i
）2=a+bi（a，b∈R，i為虛數(shù)單位），則a+b=
A、-4B、4C、-7D、7

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A）如圖，△ABC內(nèi)接圓O，AD平分∠BAC交圓于點D，過點B作圓O的切線交直線AD于點E．
（Ⅰ）求證：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求證：AB•BE=AE•DC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（n）是對一切正整數(shù)n有定義的函數(shù)，且f（1）=1，f（n）=（-1）k（n＞1，k是n的素約數(shù)的個數(shù)），設(shè)d是n的約數(shù)，令F（n）為對n的一切約數(shù)d的函數(shù)f（d）求和，求F（9）和F（2011）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

2014年“霧霾”成為年度關(guān)鍵詞．霧霾天氣是一種大氣污染狀態(tài)，霧霾是對大氣中各種懸浮顆粒物含量超標(biāo)的籠統(tǒng)表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于等于2.5微米的顆粒物）被認(rèn)為是造成霧霾天氣的“元兇”． PM2.5日均值越小，空氣質(zhì)量越好．下面是國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的PM2.5日均值（微克/立方米）與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：
PM2.5日均值
（微克/立方米）		 0--35 35--75 75--115 115--150 150--250 250以上
空氣質(zhì)量等級 1級優(yōu) 2級良 3級
輕度污染		 4級
中度污染		 5級
重度污染		 6級
嚴(yán)重污染
由全國重點城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得4月份某五天甲和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示如圖．
（Ⅰ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，分別計算兩城市的PM2.5日均值的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪個城市的空氣質(zhì)量較好？
（Ⅱ） 試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為3級輕度污染的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，試求這兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+sin2x+
1
2
（x∈R）
（1）當(dāng)x∈[-
π
12
，
5π
12
]時，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=
3
，f（C）=2，若向量
m
=（1，a）與向量
n
=（2，b）共線，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大��；
（2）求cosB+cosC的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=
3
4
，cos（α+β）=-
7
2
10
，且α∈（0，
π
2
），β∈（-
π
2
，
π
2
），
（1）求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(α+
π
4
)
的值； 
（2）求β的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案