已知函數(shù)().
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的圖象在處的切線方程;
(Ⅱ)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且,
求證:(其中是的導(dǎo)函數(shù)).
(Ⅰ); (Ⅱ)實(shí)數(shù)的取值范圍是;(Ⅲ)詳見解析.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),確定切線的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo),寫出切線的點(diǎn)斜式方程;(Ⅱ)由題設(shè)知,利用其導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值和區(qū)間端點(diǎn)外的函數(shù)值,結(jié)合函數(shù)圖象的示意圖確定函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件:
,解出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)所以方程的兩個(gè)根為,則,兩式相減得結(jié)合
消去可得:,以下只需要用構(gòu)造法證明即可.
試題解析:【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,切點(diǎn)坐標(biāo)為,
切線的斜率,則切線方程為,即. 2分
(Ⅱ),則,
∵,故時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
故在處取得極大值. 4分
又,,,則,
所以,在上的最小值是 6分
在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是,解得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 8分
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606025123903033/SYS201502260602553798876497_DA/SYS201502260602553798876497_DA.012.png">的圖象與軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)
所以方程的兩個(gè)根為,則,兩式相減得
,又,則
下證(*),即證明
即證明在上恒成立 10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606025123903033/SYS201502260602553798876497_DA/SYS201502260602553798876497_DA.053.png">又,所以
所以,在上是增函數(shù),則,從而知
故,即成立
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用;3、構(gòu)造法解決函數(shù)不等式的綜合問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期五校聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b=( )
A.10 B.9 C.8 D.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三上學(xué)期第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè),則的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)是( )
A.最小正周期為的奇函數(shù)
B.最小正周期為的偶函數(shù)
C.最小正周期為的奇函數(shù)
D.最小正周期為的偶函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
對(duì)于函數(shù),解答下述問題:
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606025123903033/SYS201502260602539735923672_ST/SYS201502260602539735923672_ST.002.png">,求實(shí)數(shù)a的值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
對(duì)于函數(shù),使成立的所有常數(shù)中,我們把的最小值叫做函數(shù)的上確界.
則函數(shù)的上確界是( )
A.0 B. C.1 D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高二上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知,應(yīng)用秦九韶算法計(jì)算時(shí)的值時(shí),的值為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高三上學(xué)期第三次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm,秒針均勻地繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)時(shí)間t =0時(shí),點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合,將A、B兩點(diǎn)的距離d (cm)表示成t (秒)的函數(shù),則d=______________其中.
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