Question

已知二次函數(shù)f（x）=mx²-2x+m其中實(shí)數(shù)m為常數(shù)．
（1）求m的值，使函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線l與圓C：x²+y²-4x-2y=0也相切．
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，求關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集M．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求函數(shù)在x=0處的切線的斜率f'（0）=-2，求出切線方程，由切線l與圓C：（x-2）²+（y-1）²=5相切，可得圓心到直線L的距離等于半徑可求m
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤0，即mx²-2x+m≤0，△=4-4m²，要求解不等式，根據(jù)二次不等式的求解，需要討論①當(dāng)△＞0②當(dāng)△=0，③當(dāng)△＜0，三種情況求解集合M

解答：解：（1）f（x）=mx²-2x+m，f（0）=m，f'（x）=2mx-2，f'（0）=-2．
則切線l的方程為y-m=-2x，即2x+y-m=0．
因?yàn)榍芯�l與圓C：（x-2）²+（y-1）²=5相切，所以

|5-m|

5

=

5

，即|m-5|=5
又m≠0．故m=10
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤0，即mx²-2x+m≤0，△=4-4m²
①當(dāng)△＞0，即0＜m＜1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x=

1± 1-m2

m

，
則M=[

1- 1-m2

m

，

1+ 1-m2

m

]；
②當(dāng)△=0，即m=1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解x=1則M={1}；
③當(dāng)△＜0，即m＞1時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=0沒有實(shí)數(shù)解，則M=∅．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為改點(diǎn)處的切線的斜率，直線與圓心相切關(guān)系的應(yīng)用及二次不等式的求解中所體現(xiàn)的分類討論思想的應(yīng)用．