Question

（2013•日照二模）已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x₁，x₂，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-

1

4

時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點都在不等式組

x≥1 y≤x-1

所表示的區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)f′（x），由題意知x₁、x₂是方程f'（x）=0的兩個不相等的實根，建立不等關系解之即可；
（II）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（III）由題意得a(x-1

)

2

+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，設g(x)=a(x-1

)

2

+lnx-x+1，x∈[1，+∞)則問題轉(zhuǎn)化為：使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，利用導數(shù)結合對字母a分類討，論研究函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=2a(x-1)+

1

x

=

2a(x-1)x+1

x

由已知f'（x）=0兩個相異正實數(shù)根x₁，x₂，即2ax（x-1）+1=0有兩相異正根，則必有a＞0，從而

a＞0 △=4a2-8a＞0

解得a＞2．…（4分）
（Ⅱ）a=-

1

4

，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx，(x＞0)，
∴f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-x2+x+2

2x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，
所以，當0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）；
當x＞2時，f'（x）＜0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）由題意得a(x-1

)

2

+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，
設g(x)=a(x-1

)

2

+lnx-x+1，x∈[1，+∞)則使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求導得g′(x)=

2a x 2   -(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
（1）當a≤0時，若x＞1，則g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）≤g（1）=0．
（2）當0＜a≤

1

2

時，x=

1

2a

＞1，則g（x）在[1，

1

2a

]單調(diào)遞減，[

1

2a

，+∞)單調(diào)遞增，
存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞)，有g(

1

a

)=a(

1

a

-1)2+ln

1

a

-

1

a

+1=-lna+a-1＞0，
所以不成立．
（3）當a≥

1

2

時，x=

1

2a

≤1則g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，則不符合題意．
綜上所述a≤0．…（13分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值等有關知識，屬于中檔題．