Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知，函數(shù)．

（I）當為何值時， 取得最大值？證明你的結(jié)論；

（II） 設在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（III）設，當時， 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ).

【解析】試題分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到數(shù)列的單調(diào)性，進而求解函數(shù)的最大值.

（II）由（I）知，要使得在[-1,1]上單調(diào)函數(shù)，則：，即可求解a的取值范圍；

（III)由，分類參數(shù)得，構(gòu)造新函數(shù)（x≥1)，利用導數(shù)求得函數(shù)h(x)的單調(diào)性和最值，即得到a的取值范圍.

試題解析：

（I）∵， ，

∴，

由得，

則，

∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又時，且在上單調(diào)遞增，

∴，

∴有最大值，當時取最大值．

（II）由（I）知：

，

或，

或；

（III）當x≥1時f(x)≤g(x)，即（-x2+2ax)ex，

，

令，則，

∴h(x)在上單調(diào)遞增，

∴x≥1時h(x)≥h(1)=1，

，又a≥0所以a的取值范圍是.