【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)設,證明:函數(shù)有兩個零點,且

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)先求的導數(shù),對參數(shù)a進行討論,可得的單調(diào)性;

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知當時,的單調(diào)性,可得上有一個零點,同時上有一個零點,可得,可得結論.

解:(Ⅰ)

時,當時,,故單調(diào)遞增

時,,故單調(diào)遞減

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

時,,故上單調(diào)遞增

時,當時,,故單調(diào)遞增

時,,故單調(diào)遞減

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

∴綜上所述,當時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

時,,故上單調(diào)遞增

時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

至多有兩個零點

又∵

∴由零點定理知,上有一個零點

又∵上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

∴當時,取最小值

,故上單調(diào)遞增

∴當時,

∴由零點定理知,上有一個零點

有且僅有兩個零點,且

,即

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