若無窮數(shù)列滿足:①對任意,;②存在常數(shù),對任意,,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列的通項為,證明:數(shù)列為“數(shù)列”;
(Ⅱ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:對任意,;
(Ⅲ)若數(shù)列的各項均為正整數(shù),且數(shù)列為“數(shù)列”,證明:存在,數(shù)列為等差數(shù)列.
(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)詳見解析
解析試題分析:(Ⅰ)用作差法證,用單調(diào)性證。(Ⅱ)用反證法證明。即假設(shè)存在正整數(shù),使得。根據(jù)和結(jié)合放縮法推倒論證得出與已知各項均為正整數(shù)相矛盾,則說明假設(shè)不成立即原命題成立。(Ⅲ)由(Ⅱ)知,需分和兩種情況討論,結(jié)合已知推理論證,根據(jù)等差的定義可證得存在 ,數(shù)列為等差數(shù)列.本題的關(guān)鍵是當(dāng)可變形得,再用累加法表示,即,根據(jù)進(jìn)行推理論證。
試題解析:(Ⅰ)證明:由,可得,,
所以,
所以對任意,.
又?jǐn)?shù)列為遞減數(shù)列,所以對任意,.
所以數(shù)列為“數(shù)列”. 5分
(Ⅱ)證明:假設(shè)存在正整數(shù),使得.
由數(shù)列的各項均為正整數(shù),可得.
由,可得.
且.
同理,
依此類推,可得,對任意,有.
因為為正整數(shù),設(shè),則.
在中,設(shè),則.
與數(shù)列的各項均為正整數(shù)矛盾.
所以,對任意,. 10分
(Ⅲ)因為數(shù)列為“數(shù)列”,
所以,存在常數(shù),對任意,.
設(shè).
由(Ⅱ)可知,對任意,,
則.
若,則;若,則.
而時,有.
所以,,,,中最多有個大于或等于,
否則與矛盾.
所以,存在,對任意的,有
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
對于數(shù)列,把作為新數(shù)列的第一項,把或()作為新數(shù)列的第項,數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列.例如,數(shù)列的一個生成數(shù)列是.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列,為數(shù)列的前項和.
(1)寫出的所有可能值;
(2)若生成數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式;
(3)證明:對于給定的,的所有可能值組成的集合為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列,,且滿足.
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)上兩點,若,且P點的橫坐標(biāo)為.
(Ⅰ)求P點的縱坐標(biāo);
(Ⅱ)若求;
(Ⅲ)記為數(shù)列的前n項和,若對一切都成立,試求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的首項其中,,令集合.
(1)若是數(shù)列中首次為1的項,請寫出所有這樣數(shù)列的前三項;
(2)求證:對恒有成立;
(3)求證:.
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設(shè)公比大于零的等比數(shù)列的前項和為,且,,數(shù)列的前項和為,滿足,,.
(Ⅰ)求數(shù)列、的通項公式;
(Ⅱ)滿足對所有的均成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且,n=1,2,3
(1)求a1,a2;
(2)求Sn與Sn﹣1(n≥2)的關(guān)系式,并證明數(shù)列{}是等差數(shù)列;
(3)求S1•S2•S3 S2011•S2012的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
[2014·河北教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測]已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1= (n∈N*).若bn+1=(n-λ)(+1)(n∈N*),b1=-λ,且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍為( )
A.λ>2 | B.λ>3 | C.λ<2 | D.λ<3 |
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