已知中心在原點,頂點A1、A2在x軸上,離心率e=
21
3
的雙曲線過點P(6,6).
(1)求雙曲線方程.
(2)動直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N,問:是否存在直線l,使G平分線段MN,證明你的結論.
(1)根據(jù)題意,雙曲線的離心率e=
21
3
,
c2
a2
=
21
9
,可得
b2
a2
=
12
9
;
設雙曲線方程為
x2
9
-
y2
12
=λ,λ≠0;
由已知,雙曲線過點P(6,6),
將其坐標代入方程,解可得λ=1,
則a2=9,b2=12.
所以所求雙曲線方程為
x2
9
-
y2
12
=1;

(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3,0)、(-3,0),
∴三角形的重心G的坐標為(2,2)
假設存在直線l,使G(2,2)平分線段MN,
設M(x1,y1),N(x2,y2).
∴l(xiāng)的方程為y=m(x-2)+2,
與雙曲線方程聯(lián)立消去y,
整理得x2-4x+28=0.
∵△=16-4×28<0,
∴所求直線l不存在.
練習冊系列答案
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AB為雙曲線上的兩個動點,滿足。(Ⅰ)求證:為定值; (Ⅱ)動點P在線段AB上,滿足,求證:點P在定圓上.

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已知為橢圓E的兩個左右焦點,拋物線C以為頂點,為焦點,設P為橢圓與拋物線的一個交點,如果橢圓離心率e滿足,則e的值為( )

M

 
A.             B.          C.          D.

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已知不過坐標原點O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點,且OA⊥OB,OE⊥AB于E.
①求證:直線L過定點;
②求點E的軌跡方程.

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若直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒有公共點,則過點P(m,n)的一條直線與橢圓
x2
7
+
y2
5
=1
的公共點的個數(shù)是(  )
A.0B.1C.2D.1或2

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
2
+y2=1,其右焦點為F,直線l經(jīng)過點F與橢圓交于A,B
兩點,且|AB|=
4
2
3

(1)求直線l的方程;
(2)求△OAB的面積.

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如圖,P是拋物線C:x2=2y上一點,F(xiàn)為拋物線的焦點,直線l過點P且與拋物線交于另一點Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l經(jīng)過點F,求弦長|PQ|的最小值;
(2)設直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0)與x軸交于點S,與y軸交于點T
①求證:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

若橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距為2
5
,且過點(-3,2),⊙O的圓心為原點,直徑為橢圓的短軸,⊙M的方程為(x-8)2+(y-6)2=4,過⊙M上任一點P作⊙O的切線PA、PB,切點為A、B.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線PA與⊙M的另一交點為Q,當弦PQ最大時,求直線PA的直線方程;
(3)求
OA
OB
的最大值.

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