Question

【題目】已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若 ， 試求f（x）在區(qū)間[﹣2，6]上的最值；

Answer 1

【答案】解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣x，則f（0）=f（x）+f（﹣x），
∴f（x）=f（﹣x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，且x1＜x2 ，
∴f（x2﹣x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=﹣2時(shí)，函數(shù)有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3
【解析】（1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助于已知等式證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的奇偶性和指、對(duì)數(shù)不等式的解法對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；指數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化;對(duì)數(shù)不等式的解法規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化．