Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，焦距為2，一條準線方程為x=2．P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P的坐標為（0，b），求過點P，Q，F2三點的圓的方程；

（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）通過焦距以及準線方程，求出a，c，然后求解b，得到橢圓方程．

（2）求出三點坐標，設(shè)出圓的一般方程，然后求解即可．

（3）求出P的坐標，代入橢圓方程，通過向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式求解即可．

（1）由題意得，解得c=1，a2=2，所以b2=a2-c2=1．

所以橢圓的方程為．

（2）因為P（0，1），F1（-1，0），所以PF1的方程為x-y+1=0．

由解得或所以Q點的坐標為．

設(shè)過P，Q，F2三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則

解得

所以圓的方程為．

（3）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則．

因為，所以

所以，解得．

所以

=

=．

因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即λ=1時取等號，

所以．即最大值為．