試題分析:本題主要考查函數(shù)與導數(shù)以及運用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值等數(shù)學知識和方法,考查思維能力、運算能力、分析問題解決問題的能力,考查轉化思想和分類討論思想.第一問,先對
求導,令
,可以看出
的單調(diào)區(qū)間是由0和1斷開的,現(xiàn)在所求的范圍是
,所以將
從0斷開,分
和
兩部分進行討論,分別判斷
的正負來決定
的單調(diào)性;第二問,用反證法證明,先假設
存在保值區(qū)間
,先求出
,再求導,因為
,所以可以求出最值
,即方程
有兩個大于1的相異實根,下面證明函數(shù)
有2個零點,通過2次求導,判斷單調(diào)性和極值確定
只有一個零點,所以與有2個大于1的實根矛盾,所以假設不成立,所以不存在保值區(qū)間.
試題解析:(1)當
時,
,此時
的單調(diào)增區(qū)間為
;
當
時,
,
此時
的單調(diào)增區(qū)間為
,減區(qū)間為
4分
(2)函數(shù)
在
上不存在保值區(qū)間. 5分
證明如下:
假設函數(shù)
存在保值區(qū)間[a,b].
,
,
因
時,所以
為增函數(shù), 所以
即方程
有兩個大于1的相異實根。 7分
設
,
因
,
,所以
在
上單增,又
,
即存在唯一的
使得
9分
當
時,
為減函數(shù),當
時,
為增函數(shù),
所以函數(shù)
在
處取得極小值。又因
,
所以
在區(qū)間
上只有一個零點, 11分
這與方程
有兩個大于1的相異實根矛盾.
所以假設不成立,即函數(shù)
在
上不存在保值區(qū)間. 12分