(2011•臨沂二模)如圖,過(guò)圓x2+y2=4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B作圓的切線AC、BD,再過(guò)圓上任意一點(diǎn)H作圓的切線,交AC、BD與C、D兩點(diǎn),設(shè)AD、BC的交點(diǎn)為R.
(I)求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E的方程;
(II)設(shè)E的上頂點(diǎn)為M,直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn),問(wèn):是否存在這樣的直線l,使點(diǎn)G(1,0)恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(I)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)R為動(dòng)直線直線AD、BC的交點(diǎn),所以可用消參法求R的軌跡方程.先設(shè)點(diǎn)H(x0,y0),求出A,B,C,D四點(diǎn)坐標(biāo),則可得到含參數(shù)x0,y0的直線AD,BC方程,再消去參數(shù),即可得到求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E的方程.
(II)假設(shè)存在直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn),使點(diǎn)G(1,0)恰為△PQM的垂心.則MG為△PQM在邊PQ上的高線所在直線,MG⊥PQ,又因?yàn)閗MG=-1,所以kPQ=1,這樣,就可設(shè)出直線MQ的方程為y=x+m,與曲線E的方程聯(lián)立,消y,得到關(guān)于x的一元二次方程,求兩根之和,兩根之積.又因?yàn)辄c(diǎn)G(1,0)恰為△PQM的垂心,所以MP⊥GQ,∴
MP
EQ
=0,得到含x1,x2的方程,根據(jù)前面所求的x1+x2,x1x2,就可求m的值,如能求出,則m存在,否則,m不存在
解答:解:(I)則x02+y02=4,
由題意可知,y0≠0,且以H為切點(diǎn)的圓的切線斜率為:-
x0
y0

故切線方程為:y-y0=-
x0
y0
(x-x0),
展開得,x0x+y0y=x02+y02即以H為切點(diǎn)的圓的方程為x0x+y0y=4
∵A(-2,0),B(2,0)將x=±2代入上述方程可得點(diǎn)C,D坐標(biāo)分別為C(-2,
4+2x0
y0
)D(2,
4-2x0
y0

則lAD
y
4-2x0
y0
=
x+2
4
,lBC
y
4+2x0
y0
=
x-2
-4
兩式相乘,可消x0,y0
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)R的軌跡E的方程為
x2
4
+y2=1

(II)假設(shè)存在直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn),使點(diǎn)G(1,0)恰為△PQM的垂心.
設(shè)P(x1,y1),Q(x1,y2)∵M(jìn)(0,1),G(1,0),MG⊥PQ,∴kPQ=1
設(shè)直線l為y=x+m,與曲線E的方程聯(lián)立,消y,得5x2+8mx+4m2-4=0
由△=(8m)2-4×5(4m2-4)>0得-
5
<m<
5

x1+x2=
8
5
m,x1x2=
4
5
(m2-1)
又∵M(jìn)P⊥GQ,∴
MP
EQ
=0
∴x1(x2-1)+y1(y2-1)=0
又y1=x1+m,y2=x2+m
∴x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=,0即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0
8
5
(m2-1)-
8
5
m(m-1)+m2-m=0即5m2-3m-8=0
解得m=1或m=-
8
5

檢驗(yàn):當(dāng)m=1時(shí),l過(guò)M點(diǎn),構(gòu)不成三角形,舍去.當(dāng)m=-
8
5
時(shí),符合條件
故直線l的方程為y=x-
8
5
點(diǎn)評(píng):本題考查了消參法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷,計(jì)算量較大,應(yīng)認(rèn)真計(jì)算.
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1
x
≥2
x•
1
x
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4
x2
=
x
2
+
x
2
+
4
x2
≥3
3
x
2
x
2
4
x2
=3,…,可以推出結(jié)論:x+
a
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