Question

已知函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點O,且在點處的切線的斜率是.

（1）求實數(shù)的值；

（2）求在區(qū)間上的最大值；

（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

 

Answer 1

（1）；( Ⅱ)詳見解析；( Ⅲ)詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)x＜1時，f（x）=-x3+x2+bx+c，則f'（x）=-3x2+2x+b．依題意得：，由此能求出實數(shù)b，c的值．（2）由知，當(dāng)-1≤x＜1時，，令f'（x）=0得，當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況列表知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=alnx．當(dāng)a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當(dāng)a＞0時，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．當(dāng)aln2≤2時，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為2；當(dāng)aln2＞2時，f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為aln2．（3）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t3+t2），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

【解析】
（1）當(dāng)時，，則。

依題意得：，即 解得

（2）由（1）知，

①當(dāng)時，，

令得或

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

 

又，，�！�在上的最大值為2.

②當(dāng)時, .當(dāng)時, ,最大值為0；

當(dāng)時,在上單調(diào)遞增�！�在最大值為。

綜上，當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當(dāng)時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（3）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題設(shè)要求，則點P、Q只能在軸兩側(cè)。

不妨設(shè)，則，顯然

∵是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，∴

即 （*）

若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得： 即 （**）

令 ，則

∴在上單調(diào)遞增， ∵ ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數(shù)，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點的直角

三角形，且此三角形斜邊中點在軸上。

考點：導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用.