Question

出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取

e1

和

e2

為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量

a

，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得

a

=λ

e1

+μ

e2

，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱(chēng)作向量

a

的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用

i

和

j

表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜

i

，

j

＞=

π

3

，
（1）請(qǐng)你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量

i

和

j

做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量

a

的坐標(biāo)；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．

Answer 1

分析：（1）用

i

和

j

表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，對(duì)于平面向量

a

，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定義數(shù)對(duì)（p，q）為向量

a

在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，模仿直角坐標(biāo)系中兩個(gè)向量的加法，減法，數(shù)乘和數(shù)量積寫(xiě)出來(lái)，只是在兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算中，注意應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律．

解答：解：（1）根據(jù)平面向量基本定理，用

i

和

j

表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，
對(duì)于平面向量

a

，存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定義數(shù)對(duì)（p，q）為向量

a

在斜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)．
（2）設(shè)

a

，

b

在斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為（a₁，b₁），（a₂，b₂），
那么

a

+

b

=（a₁+a₂，b₁+b₂）

a

-

b

=（a₁-a₂，b₁-b₂）
λ

a

=（λa₁，λb₁）

a

•

b

=a₁a₂+b₁b₂+

1

2

(a1b2+b1a2)

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量正交分解的應(yīng)用，考查一個(gè)新定義問(wèn)題，考查兩個(gè)向量的四則運(yùn)算，考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)變能力，是一個(gè)比較好的題目．