Question

（本小題15分）已知函數(shù)f(x)=(1+x)²-aln(1+x)²在(-2,-1)上是增函數(shù)，

在（-∞，-2）上為減函數(shù).

（1）求f(x)的表達式；

（2）若當(dāng)x∈時，不等式f(x)＜m恒成立，求實數(shù)m的值；

（3）是否存在實數(shù)b使得關(guān)于x的方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，若存在，求實數(shù)b的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².(2)需m＞e²-2；

（3）存在這樣的實數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和函數(shù)奇偶性以及函數(shù)與不等式的關(guān)系的綜合運用。

（1）求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f′(x)=2(1+x)-

=2·,

那么依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.從而得到解析式。

 (2)由于f′(x)=2(1+x)-=,易證函數(shù)在上單調(diào)遞減，

因此若使原不等式恒成立只需求解其最大值m＞e²-2即可.

（3）若存在實數(shù)b使得條件成立，

方程f(x)=x²+x+b即為x-b+1-ln(1+x)²=0,

要使方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區(qū)間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,

故存在這樣的實數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.

解  （1）∵f′(x)=2(1+x)-

=2·,

依題意f(x)在(-2,-1)上是增函數(shù)，在（-∞,-2)上為減函數(shù).∴x=-2時，f（x）有極小值，∴f′（-2）=0.

代入方程解得a=1,

故f(x)=(1+x)²-ln(1+x)².

(2)由于f′(x)=2(1+x)-=,

令f′(x)=0,得x₁=0,x₂=-2.

（由于x∈，故x₂=-2舍去），

易證函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在［0，e-1］上單調(diào)遞增，

且f()=+2,f(e-1)=e²-2＞+2,

故當(dāng)x∈時，f(x)_max=e²-2,

因此若使原不等式恒成立只需m＞e²-2即可.

（3）若存在實數(shù)b使得條件成立，

方程f(x)=x²+x+b

即為x-b+1-ln(1+x)²=0,

令g(x)=x-b+1-ln(1+x)²,

則g′(x)=1-=,

令g′(x)＞0,得x＜-1或x＞1,

令g′(x)＜0,得-1＜x＜1,

故g(x)在［0，1］上單調(diào)遞減，在［1，2］上單調(diào)遞增，要使方程f(x)=x²+x+b在區(qū)間［0，2］上恰好有兩個相異的實根，只需g(x)=0在區(qū)間［0，1］和［1，2］上各有一個實根，于是有2-2ln2＜b≤3-2ln3,

故存在這樣的實數(shù)b,當(dāng)2-2ln2＜b≤3-2ln3時滿足條件.