Question

試比較下列各式的大�。ú粚戇^(guò)程）
（1）

2

-1與

3

-

2

；
（2）

3

-

2

與

4

-

3

通過(guò)上式請(qǐng)你推測(cè)出

n

-

n-1

與

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：把給出的兩組數(shù)作查后再求平方差的符號(hào)，得到；兩組數(shù)的大小關(guān)系，從而推測(cè)出

n

-

n-1

與

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*的大小，運(yùn)用同樣的方法加以證明．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="utsceoq" class="MathJye">(

2

-1)-(

3

-

2

)=2

2

-(

3

+1)，而(2

2

)2-(

3

+1)2=4-2

3

=

16

-

12

＞0，
所以

2

-1＞

3

-

2

；
（2）因?yàn)?span id="gftojag" class="MathJye">(

3

-

2

)-(

4

-

3

)=2

3

-(

4

+

2

)，而(2

3

)2-(

4

+

2

)2=

36

-

32

＞0，
所以

3

-

2

＞

4

-

3

；
由上推測(cè)

n

-

n-1

＞

n+1

-

n

，n≥2，n∈N^*．
事實(shí)上，(

n

-

n-1

)-(

n+1

-

n

)=2

n

-(

n-1

+

n+1

)，
因?yàn)?span id="gupdgbp" class="MathJye">(2

n

)2-(

n-1

+

n+1

)2=2n-2

n-1

n+1

=(

n-1

-

n+1

)2＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的大小比較，考查了歸納推理，訓(xùn)練了平方差法比較兩個(gè)正數(shù)的大小，是基礎(chǔ)題．