Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱DD₁⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，AD=DD₁=2，BC=DC=1．點E是側(cè)棱DD₁的中點．
（1）證明：B₁E⊥AB；
（2）若點F在線段B₁E上，且B₁F=

1

3

B₁E，求直線AF與平面BDD₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明B₁E⊥AB，只需證明AB⊥平面BDD₁B₁；
（2）連接BF，則∠AFB為直線AF與平面BDD₁B₁所成角，求出AF即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵側(cè)棱DD₁⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴DD₁⊥AB，
在梯形ABCD中，∵AD=2，BC=DC=1，
∴AB=BD=

2

，
∴AB²+BD²=AD²，
∴BD⊥AB，
∵BD∩DD₁=D，
∴AB⊥平面BDD₁B₁，
∵B₁E?平面BDD₁B₁，
∴B₁E⊥AB；
（2）解：連接BF，則∠AFB為直線AF與平面BDD₁B₁所成角．
在矩形BDD₁B₁中，B₁E=

3

，cos∠B₁ED₁=

3

3

，
由余弦定理可得BF=

3

，
∴AF=

AB2+BF2

=

5

，
∴直線AF與平面BDD₁B₁所成角的正弦值為

AB

AF

=

10

5

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．