【題目】四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC⊥面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 ,SB=SC=

(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l,求證:l∥AB;
(2)求證:SA⊥BC;
(3)求直線SD與面SAB所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵底面ABCD為平行四邊形,

∴AB∥CD,∵AB平面SCD,CD平面SCD,

∴AB∥平面SCD,又AB平面SAB,平面SCD∩平面SAB=l,

∴l(xiāng)∥AB.


(2)證明:取BC中點O,連接OS,OA.

∵OB= BC= ,AB=2,∠ABC=45°,

∴OA= =

∴OA2+OB2=AB2,∴OA⊥BC.

∵SB=SC,O是BC的中點,∴OS⊥BC,

又SO平面SOA,OA平面SOA,SO∩OA=O,

∴BC⊥平面SOA,∵SA平面SOA,

∴BC⊥SA.


(3)解:∵SB=SC,O是BC中點,∴SO⊥BC.

∵側(cè)面SBC⊥面ABCD,側(cè)面SBC∩面ABCD=BC,

∴SO⊥平面ABCD.

以O(shè)為原點,以O(shè)A,OB,OS為坐標軸建立空間直角坐標系O﹣xyz,如圖所示,

則A( ,0,0),B(0, ,0),S(0,0,1),D( ,﹣2 ,0),

=( ,﹣2 ,﹣1), =( ,0,﹣1), =( ,﹣ ,0).

設(shè)平面SAB法向量為 =(x,y,z),則

.令x=1,則y=1,z= ,∴ =(1,1, ).

∴cos< , >= = =

∴直線SD與面SAB所成角的正弦值為


【解析】
【考點精析】掌握棱錐的結(jié)構(gòu)特征和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本,需要知道側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

練習冊系列答案
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