【題目】已知{an}是遞增的等差數列,且滿足a2a4=21,a1+a5=10.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數列{cn}前n項和Cn=an+1,數列{bn}滿足bn=2ncn(n∈N*),求{bn}的前n項和.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)通過設等差數列{an}的公差為d,則依題設知d>0,利用a1+a5=2a3=10可知a3=5,進而利用a2a4=21可知d=2,進而計算可得結論;
(2)通過(1)知Cn=an+1=2n,通過令n=1可得c1=2,利用Cn=2n與Cn-1=2(n-1)作差,進而計算可知數列{bn}是首項為4、公比為2的等比數列,利用等比數列的求和公式計算即得結論.
(1)設等差數列{an}的公差為d,則依題設知d>0,
由a1+a5=10,可得2a3=10,即a3=5,
由a2a4=21,得(5-d)(5+d)=21,可得d=±2,
∵{an}是遞增的等差數列,
∴d=2,a1=5-2d=1, ∴an=2n-1;
(2)由(1)知Cn=an+1=2n,可得c1=2,Cn-1=2(n-1),
兩式相減可得cn=2(n∈N*), ∴bn=2n+1,
所以數列{bn}是首項為4、公比為2的等比數列,
所以前n項和Sn==2n+2-4.
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【題目】設,,其中是不等于零的常數。
(1)寫出的定義域;
(2)求的單調遞增區(qū)間;
(3)已知函數,定義:,.其中,表示函數在上的最小值,表示函數在上的最大值.例如:,,則,,,,當時,設,不等式恒成立,求,的取值范圍.
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【題目】某家具城進行促銷活動,促銷方案是:顧客每消費滿1000元,便可以獲得獎券一張,每張獎券中獎的概率為,若中獎,則家具城返還顧客現金1000元,某顧客購買一張價格為3400元的餐桌,得到3張獎券,設該顧客購買餐桌的實際支出為(元);
(1)求的所有可能取值;
(2)求的分布列和數學期望;
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【題目】已知橢圓的長軸與短軸之和為6,橢圓上任一點到兩焦點, 的距離之和為4.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若直線: 與橢圓交于, 兩點, , 在橢圓上,且, 兩點關于直線對稱,問:是否存在實數,使,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】下列命題中,假命題為( )
A. 存在四邊相等的四邊形不是正方形
B. z1,z2∈C,z1+z2為實數的充分必要條件是z1,z2互為共軛復數
C. 若x,y∈R,且x+y>2,則x,y至少有一個大于1
D. 對于任意n∈N+,都是偶數
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【題目】一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片,其中4張卡片上數字是1,3張卡片上數字是2,2張卡片上數字是3.從盒中任取3張卡片.
(1)求所取3張卡片上數字完全相同的概率;
(2)已知取出的一張卡片上數字是1,求3張卡片上數字之和為5的概率.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=2sin θ,θ∈[0,2π).
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)在曲線C上求一點D,使它到直線l:的距離最短,并求出點D的直角坐標.
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