如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且有AE：EB=AH：HD=m，CF：FB=CG:GD=n．

(1)證明：E、F、G、H四點共面；

(2)m、n滿足什么條件時，EFGH是平行四邊形?

(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明EG=FH．

 

答案：
解析：

解：(1)∵AE：EB=AH：HD，∴EH∥BD．

∵CF：FB=CG：GD，∴FG∥BD．∴EH∥FG．

∴E、F、G、H四點共面．

(2)當且僅當EHFG時，四邊形EFGH為平行四邊形．

∵==,∴EH=BD．

同理FD=BD．由EH=FG得m=n．

故當m=n時，四邊形EFGH為平行四邊形．

(3)當m=n時，AE：EB=CF：FB，∴EF∥AC．

又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC與BD所成的角，

∴∠FEH=90°，從而EFGH為矩形．∴EG=FH．

點評：空間四邊形是立體幾何的一個基本圖形，它各邊中點連線構成平行四邊形；當兩對角線相等時該平行四邊形為菱形；當兩對角線互相垂直時，該平行四邊形為矩形；當兩對角線相等且互相垂直時，該平行四邊形為正方形．

 


練習冊系列答案
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10、已知如圖：E、F、G、H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點．
（1）求證：EG∥平面BB1D1D；
（2）求證：平面BDF∥平面B1D1H．

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如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點，求證：
（1）GE∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H．

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如圖，E、F、G、H分別是矩形ABCD的四條邊的中點，向矩形ABCD所在的區(qū)域投針，則針尖在四邊形EFGH內的概率為
1
2
1
2
．

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（2010•臺州二模）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點，將等腰    三角形EFB，F(xiàn)GC，GHD，HEA分別沿其底邊折起，使其與原 所在平面成直二面角，則所形成的空間圖形中，共有異面直線 段的對數(shù)為
28
28
．

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如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD的所在邊的中點，若(
AB
+
BC
)•(
BC
+
CD
)=0，則四邊形EFGH是（　　）

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