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已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，它的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合.
求橢圓的方程；
設橢圓的上頂點為，過點作橢圓的兩條動弦，若直線斜率之積為，直線是否一定經過一定點?若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由.

（1）；（2）恒過一定點.

解析試題分析：（1）可設橢圓方程為,因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，又，所以，又因，得，所以橢圓方程為；
（2）由（1）知，當直線的斜率不存在時，可設，設，則，
易得，不合題意；故直線的斜率存在.設直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得： ①，設，則是方程①的兩根，由韋達定理，由，利用韋達定理代入整理得，又因為，所以，此時直線的方程為，即可得出直線的定點坐標.
（1）由題意可設橢圓方程為,
因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以橢圓方程為；    
（2）由（1）知，
當直線的斜率不存在時，設，設，則，
，不合題意.
故直線的斜率存在.設直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得：
 ①
由得 ②
設，則是方程①的兩根，由韋達定理
，
由得：
，
即，整理得
，
又因為，所以，此時直線的方程為.
所以直線恒過一定點     
考點：橢圓的標準方程；圓錐曲線的定點問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線C：的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.
（1）求C的方程；
（2）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標;
(2)若,求證：直線恒過定點；
(3)當時，設圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，、是橢圓的左右焦點，且橢圓經過點.
（1）求該橢圓方程；
（2）過點且傾斜角等于的直線，交橢圓于、兩點，求的面積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（2011•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C交于A、B兩點，以弦為直徑的圓過坐標原點，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為，恰是拋物線C2：的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知，，，分別是橢圓的四個頂點，△是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點是圓劣弧上一動點（點異于端點，），直線分別交線段，橢圓于點，，直線與交于點．
（�。┣�的最大值；
（ⅱ）試問：..，兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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