Question

已知函數(shù)f（x）=

|2x-1|-1，x≤1 x2-3x+3 x-1 ，x＞1

，下列關(guān)于函數(shù)g（x）=[f（x）]²+af（x）-1（其中a為常數(shù)）的敘述中：
①對(duì)?a∈R，函數(shù)g（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)；
③?a∈R，使得函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)；
④函數(shù)g（x）有四個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是a＜0．
其中真命題有

 

．（把你認(rèn)為的真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式，求出函數(shù)的值域，畫出函數(shù)f（x）的圖象，對(duì)g（x）=0的兩根加以判斷，通過(guò)a的取值，結(jié)合圖象一一加以判斷即可．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=2^x-1-1=2^x-2，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=1-2^x-1=-2^x，且-1≤f（x）≤0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=

(x-1)2+2-x

x-1

=x-1+

1

x-1

-1，
且f（x）≥1，如右圖所示，
又函數(shù)g（x）=[f（x）]²+af（x）-1（其中a為常數(shù)）
判別式為a²+4＞0，則g（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，且
設(shè)f（x）=m，n，且mn=-1，m+n=-a，
①若a=

3

2

，則設(shè)m=-2，n=

1

2

，則結(jié)合圖象可知，
函數(shù)g（x）沒(méi)有零點(diǎn)，故①錯(cuò)；
②當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=0則f（x）=±1，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
③若存在函數(shù)g（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，則x軸上方2個(gè)，下方1個(gè)；或上方1個(gè)，下方2個(gè)．即有f（x）=-1，
由于mn=-1，故還有f（x）=1，不成立；第二種情況也不成立，上方有1個(gè)，即f（x）=1，還有f（x）=-1，
故③錯(cuò)；
④函數(shù)g（x）有四個(gè)不同零點(diǎn)?即在x軸上方有兩個(gè)、下方有兩個(gè)，即-1＜m＜0且n＞1，即m+n＞0，-a＞0
即a＜0，故函數(shù)g（x）有四個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是a＜0，即④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)及判斷，考查函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．