【題目】已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,直線與雙曲線的一個交點的橫坐標(biāo)為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點,傾斜角為的直線與雙曲線相交于、兩點,為坐標(biāo)原點,求的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)將點(2,3)代入雙曲線方程,運用雙曲線的焦點坐標(biāo)和a,b,c的關(guān)系,解方程即可得到,,進(jìn)而得到雙曲線的方程;
(2)直線l的方程為,代入雙曲線的方程,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),運用韋達(dá)定理和弦長公式,以及點到直線的距離公式,由三角形的面積公式計算即可得到所求值.
(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是,
由題可知:點在雙曲線上,
從而有 ,解得
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)由已知得直線的方程為即
所以 原點到直線的距離
聯(lián)立消去可得
設(shè),則
所以 ,
所以 的面積.
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【題目】在直角梯形中,,,,,,為線段(含端點)上的一個動點.設(shè),,對于函數(shù),下列描述正確的是( )
A.的最大值和無關(guān)B.的最小值和無關(guān)
C.的值域和無關(guān)D.在其定義域上的單調(diào)性和無關(guān)
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是梯形, , , , ,側(cè)面底面.
(1)求證:平面平面;
(2)若與底面所成角為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過橢圓的左焦點,且與橢圓交于兩點,若的面積為,求直線的方程.
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【題目】已知圓,直線
(1)若直線與圓O交于不同的兩點A, B,當(dāng)時,求k的值.
(2)若k=1,P是直線上的動點,過P作圓O的兩條切線PC、PD,切點為C、D,問:直線CD是否過定點?若過定點,求出定點坐標(biāo);若不過定點,說明理由.
(3)若EF、GH為圓的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),求四邊形EGFH的面積的最大值
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【題目】如圖,在四棱錐中,PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,BC∥AD,.
(Ⅰ)求證:CD⊥PD;
(Ⅱ)求證:BD⊥平面PAB;
(Ⅲ)在棱PD上是否存在點M,使CM∥平面PAB,若存在,確定點M的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
(1)從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;
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【題目】某校為了解高一實驗班的數(shù)學(xué)成績,采用抽樣調(diào)查的方式,獲取了位學(xué)生在第一學(xué)期末的數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù),樣本統(tǒng)計結(jié)果如下表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
合計 |
(1)求的值和實驗班數(shù)學(xué)平均分的估計值;
(2)如果用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)成績小于分的學(xué)生中抽取名學(xué)生,再從這名學(xué)生中選人,求至少有一個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是在的概率.
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