Question

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求c的取值范圍；
（2）若存在c=5，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+2]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（x）=x³+3x²-9x+c=0有三個(gè)不等的實(shí)根，
設(shè)g（x）=x³+3x²-9x+c，則g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）…（3分）
列表如下：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	_	0	+
g（x）	增	極大值27+c	減	極小值c-5	增

∴解得-27＜c＜5…（8分）
（2）當(dāng)c=5時(shí)，由f'（x）=x³+3x²-9x+5=0，即f'（x）=（x-1）²（x+5）=0可知f（x）在（-∞，-5]上單調(diào)遞減，
所以a+2≤-5，即a≤-7…（12分）
分析：（1）函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)不等的實(shí)根，求出導(dǎo)函數(shù)的極值，建立不等式，即可確定c的取值范圍；
（2）當(dāng)c=5時(shí)，可知f（x）在（-∞，-5]上單調(diào)遞減，從而可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)不等的實(shí)根是解題的關(guān)鍵．